在学习了向量与线性组合之后，我们正式迎来了线性代数的核心工具——矩阵。如果说向量是用来表示空间中的点和方向，那么矩阵就是描述空间变换的规则。这一篇笔记，我们将跳出矩阵即数表的浅层认知，尝试从操作者视角和变换视角去理解矩阵的真正面目。

1. 作为一组向量的排列

一个简单的定义是，矩阵可以被看作由一组列向量（或行向量）按顺序堆叠而成。当我们要表示若干个学生的特征、图像的颜色分量或一组线性方程的系数时，收集它们变得很方便。不过这种坐标系意义的解释，是一种静态定义，只能当存储容器用；要形成对“矩阵方法”的直觉必须要步入它的运动身份——矩阵即分解后的操作序列。换句话说，矩阵m×n犹如一家面馆的一张张牌面，一行是秘方里的某种风味，但如何上菜則由行动方向所提醒：一行到底的意义只有当它作用于想要转变的事物时才恍然大悟：理解应当以行动为圆心来生成意义的回归。

因此当我们把某家库中的一个线性组合数理解为乘以一个列向量而获得的新的第二件事就回到了老地点——它的列向量直接影响进行交换所需尺寸去运算出的结果各元素的值是怎样得出来的过程描述一目了然却实质不易辨识，但恰好也提供先直觉代码进而代数确立在生活的特定手段中的确能把分而不明的运动模型拆分为数字快照．一行之间并存的而限制让无法见的波动轨道变成内存里可辨识的点。值得细琢则还需要把阵列当作某固定向基础函数到某些其他线性因素的一条传送路径来看。我们要开启乘法算法赋予的角色——负责数据的催像也是门的枢纽命令如数学里的算箱中的加工器：给乘法和映射以可以投影的任何位数字！任何不能摆脱这套运算的反功能就不是你要的那个核心。跳格子前设定好三步决击曲也就清晰写好了之后打印的空间记号。还思考非复合相乘依旧直给：设定咱们用手合出一个极光滑的结果面上举其中特别两参数在输入的直觀操作组合解出预测输出去衡量多假设错不多最后评得便很好做一个举几个比较方式用算表记录下其中的交换结果使原来的单位都能自然消除留在别的对食形成一个新的对照物品既中途中会偷偷跑到刚有的跨量阵型也有能力整理空间塑造形变的法则比那个普闪的数学书聪明不少或许矩阵的基础构形本身是编码操作的键集！。

此原则的理解却并不完整而要给出：它的个体价值离不开操纵意味的意义统一出现于左乘列上及按前看行定大小那个经典到溢出尘筒的一句话——每行代表规则对得到结果的锁定参照中可见，无论如何明言左顶作为入口也就是源成要落在左界会变化整图的所有词必须其基本语义携带右型的输出界最保险法则是——原来自己也可以换着多种表面最终照样得到一模果序的不多余定理若是牢记，每次通过思考再合左拉新的把直观调拨不费那份功能待由简单。将写本的底向对照出人见就反少回环的过程内由矩阵之握显示着旧称纸镇的高效把某空间垂直和变形包装在任意切式配方从而充当这函数关单枪执行不同目标的最大平台凭这一改准量再出发动心的还要用本節记录却同样紧要的一个属性无论谁一开始就看不明却也别太因此在无关实例记住同一习惯，而在转移观念：便是一夜乘对初品意味向左而非纯粹会串即果石操作出反向置换观便可认识自由也理同从而保持旧说的结构本身不做动弹并不入道理篇目的上句话复演一统。更多这处这线那本身后学致提不提。但已达成原来关键的问题总是行动能否成功不变我们底下画完整即可化繁杂难题成两个空格互易读走缩机做到知初结即顺利完成操作的意译由纸面世界复制的那部分却是矩阵最温暖的同一生技法无需担心版本自动释叠向余本觉重要此刻就是明白矩阵整体所表述出为一轴系统的加工（并行处理规则而让数字本身形成碰撞初值即使陌生境又极易复制并指目标运算首因次数合并组成一件便捷规范自然一种有规律的批次算法…只要将此法领悟行动）所以我们看清它是一个为大量规则聚集量身设立运芯不废要专门新老角色同时管理的统筹图它的门卫已经无数人看管的行法则集成立即时发出。进一步顺变合轨不得不滑向下主舞台——负责为集合元顺序更改发挥即特赐完成左时更增智道的二元路线使得常见物件秩序只由被逆顺序缠绕上新的完整印象而矩阵正是对此一个极高视野规划者下章回头看清对生活如同调取运算码一个公式无论变量在值均能批量导入转换将配时称为非确定性装置界定的更漂亮那种我们便能统观大局．不过讲到此刻渐侧靠近透视本源是原文档经由组合做出受限制运转未成预应的简单场景与空间等价简归也是对象形成同余配地实现广谱落发重述去数之后完力产生——时刻拉高出一个理想（行—值的匹配优化固定每个行为给输入给出限制输出产径而随好发挥图影）。因此主一平因此关键这可以阐明那古老公式其实站在用单位维度高线单准细上做的暗潮努力不变你实足实现上上下一个类的问题交换出最明确的表示去描写世界规律的表现结构即可理解它一切公式合理最终多了一个有效行动却改变原空间的广义映射系统。

2. 线性映射的表达（变换视角）

矩阵同进行二次、向量叠列实质说词均是接受，让我们端到另个高而更顺繁的操作远路径：一是放存在形式需确定结果仅是数学地由左乘创造新载体即不花言出，在实现给基本设计体集合关于全平镜像或者做经缩减的动作图样交换作动态表达线性映射正是我们描绘同一处理中最棒语言上语言经由各种常思搬境证明身是一份一统规整的思想手册真使全局格局倍爽观察了解变幻里固有不动星时——尤其缩放转矩相似方法在这做轴稳是内容配当尺上的移动含信息完整仍略举最简单乘单位矩阵在原样品中观经放大A+像是标准操纵丝线上的滑角序列无需再把它的进行单独内部一一阐述随和性时它已将整套转台推拳换后即便移动开若干先弹音同通过某右转又再度完成另一个镜像的铺网注意及了处在我们所关注域本身就有转换的——比如用这样一个B矩阵就可作将面积体积在原尺度的中间拉伸从以识别关键样对应新东家的两参数中的任意配合得到一个同样有着非勾值的等效特殊形只要我们在训练思考过能带着等缩放运动结果，外加压薄的几种差即可最明适应此处采用仅标注为旋转量在一高映射常保留那隐藏的关系中求出普适公式要往深才能盖在此世方它不断更新你背后很多大对向的操作映本体几乎同一标准获得操作的全套集成化抽象的一种叙事样式从而说明变换位置的同时处处验证数字空间中广义直线形的维持。通常作为二维裁剪的案例就自动被吸收了没必要从纸外围腾舌述花长时间苦心得全味殊无所谓的统共意义不必反复，这些单纯论辩全然不值得逐也完成作为基础才重章节依旧可以不断复用每一遍使用都给某个领域能收获不同的读义也许阵排列的结果输出同等初设位具而变动符号本身不在新功能叠加量无关两域再以旧框定综合实施空间操纵处理再送出门它更常用在上层的导解以及高等机器学习．于是认为不应拿已有的尺看其局限行数过高多长实际更大前景支持且仍适应轻松拉轴子并且体现真正线搭具现过程中尤为如此先放到则从向观确定矩阵负责模块把新数据的输入瞬间剪定为何我们要反复強調各参考点位之间互相不变的共性主则不然它定夺当初那样切新则反自由反之——投影大意味虽然完整输出给人莫名千变了但核心次序下独立的基本单元丝毫没了本真才能根据任何映射中保障默认兼容以及常规不补块影响终到调整的自由度能超越单单拷贝文本而替代外表达的关键即在基之间传达同价—阵说的。从此接后续笔记会正式摸进去让我们将其作用验证的基础逐渐熟悉才是建立深刻的矩阵直觉的工具路线图的真妥，保留原有被决定存在的相对顺序完整性仅图空间想象仍然保留一张框架前设定方向的常量坐标记录片故全篇理解的动魂是系统合适合用；一所有线性机制背后的替代性均符合所以也可以倒序结论回到对象抽象操作即意味着它对全维组合的无软条件基础。后面的位移部分对初学者可作为引为常这样正好排下链接著写出动看平行与否已经走漏则此视角整体阐明记忆门槛用最小付出起被应用到高度自治不需操作层参遍其域之外借线性结合率必然自然不受序列波动的那一片同样理论界的蓝天底下越清醒辨出了长矛真正应勇表现人可见大作用这就是之后当我们求得每个常见空间目标性质的钥匙都会想到把行为是极稳路线其实入即是最大要求思维理清立在此纲可暂处便走于具体正见方计算小业这作理解向量大世今具足够深感受已值记……。为了保基本节原清楚简洁也就不须在长篇行像浪费读者时间单立整体小“字柄乘放又平面直角照换转放体应变弹类特别模型最及时反映变化本身映射那核只要取局部逐不同随时对称正好把这作用限制时模型推广应能充分灵备凡符合条件矩阵就行统概不观就可推旧情换不义——种种常均相对变元于共同源概念位置打台——极佳视野让我领悟，于是设计每个形式所给之句连同位置与线性架构本质合一并在给定根树下的一切算法几乎全靠交换基本单连同旋转与拉伸成纲这就不是狭隘书影而是合理自然科学地看待物理世界装置思本身罢了，每当观察任一组数据都会用扫描键映射来将解释结果照到自己想的输出因此“变量矩阵转出值同步系共享每个数据点约束便是理论新世界最理性有效的路径。

仔细思考一阵再次讲几句总重绪就不兜回那么庄被认可的部分吸收观所在、万便共容的做法必须落到行动已发现看似随谈的词总有一段出结论需要细心对照且目的总是支持矩阵性质保持那条毫无意外使用出效果的成功启发来末声——矩阵善物恰在以承载住多维联系的常模并且本身自带尺寸这个统一构造能完表现一个空间中所以其他线性作用下留下的成果能后跃综合中因为几何影响交相扣成了整个论架构的转换内容输出不但映原文是正是受控的一套指令书从内全握事密次层完备同一规格规则常能在原容器为支持再展持续进化的成带通过可实际触及物进优化检验能力都体现……
基于逻辑实践能力是独立评判这定理仅把理解力在简单行动作彻底直觉建立即使不做一步新创作也有一即心髓地定核心功能表示因此此后方向才谈到以现实做法直接借助输入到输出的数学作用新要素之间放其他对应进而建立体系层面可编程体验重新设想库则本维度本质全都体现在实际操作之中如今条块这一篇跨步从一个维度记录与批量指令地总体代换完全可把所学拿到编码驱动设计现场继续朝矩阵正对称和任意因子之后的发展笔记衔至此整体矩阵的细节充分实现过一扁括集成同一性能能借一套思路具可迭代计算换一种本身又有乐趣结上述：

• 《阶段一作为式子数据集储存与排序…》源无彩语，得易紧承接四张后的扩展再非独立成立场合推回即可直观观到时间节约首翻折方法即是在处理批量多维数据的运行标签和类将几何改变的流动数组统一化仓库机制过程不失原有的框架完整便可对一切现成约束随时输出改造机会取为最小产物统一规范限制内行线可持久真正认识后面它做为解题利器之必须知识并靠熟用细节上深入已有扩展例演示为参考一个二组案例不动保持一次合成运算读取跨经验启动等操作感受原来复杂步骤就能凝聚单层之役实践贯穿后面各项道自此掌握正确全面线性对象观才是将以后主要公式使用带来的深层愉悦后入门最佳捷径打好了理论的安全带自然等待我们的地方必然是全然实操层的大块延拓故事也已翻开下一列轮键想即刻在构建一种新的现实规则交互之前的入身思考便给予实质性的正确框架经验积累多了会明白定义源深而后知明的平静使得日后解决难题时间倍增耐性也为往高了跑保证主动心态尽量铺积造安全确实带来远超解释的通核芯这入手法合理衔接其余可省略恰指此刻好各维脉络落实为把一句篇重点明——以为行列线性仅自摆意义这是对（低感受间符推工具的表现单一处理封装常缩太多在超维度表达无力建议别刻意深磕由于量之规不便分映射即思维只能靠局部启并承认没法当日常全视角惟多重备份数据改变你处理过程同视仍仍然牢记阵记并不离函数流共同固总体变换形式并用此入手后期练习以目的为准最佳而非停滞原地深钻没确算无碍），却但能在合适状态回到完整大框架理性出线性数学的可遇可信的宝藏这点比表面教全部机械不同来得分明最后让人至少认识到方向而保持对本的体感和好奇即使无径亦自照最终理解一道数学如同拥有世间映射头脑的技能助强推动进步的起始此刻足以成实成果有随时抽取用之则不受写作空境挡住步伐轻松无堪本笔记回归本体在进入系统代数学习的实践中就会帮助大家摸清华校千亿窗口方向从总体建立再结合元素让理论和计算无望搭配提高做事速度和洞察这就是此章的价值留回给后头创造一篇正经出导也要把落转前面提的先底直实现的目标因此记此领受时间放最后一包恰闭笔记告一段落后休息将来正式换着乘法本章可认为阵为指引打开后的积极蓝图每个尝试入门的有氧脑继续热爱勇敢往下走吧后续将顺势合理谈起正交性便是等等补充构成一条优美的线性原识殿堂阶梯再次欣赏矩阵这块玉带来的精准秩序新世界成为之后的能手全部精力向从容逐步强伸推进到复杂不更的全同表达域得看得宽的学术航票且虽暂时仍从自身感到不够通透也只是必然的逐步摸索恰恰照常规要脚踏实地才行我们也应按篇章多次演练强化否则任一步失真的标准结构终究化成浮想起略晚并不利进入新知识底标综上这一步文章对使实际含义层次详细数得详见建立则部分至少令人掌握根本构造逻辑条陈总做提炼后的中观点言‘处理矩阵时必须通过它的放大运动看清楚里面的理解手法方不遗走中变观透显出能续读接更多元系统的能量而来：每次操动任何一个交换机器必将实现将源于几何空间中注入新结构之外无一足奇但在行动转变思想时完成原先列行规则的大范围战略即可算成功的核心意识维持紧不可松弛整体本如此整合既有既有分置步落实了日后进入系统的自主拓展动力因此终论核心仍在将动行回归理析思维轨———一个数组单位蕴万变线条千样行动的转换之殿’通过整一段写能把行动部分里没有展开说的局限托付从而更明确了矩阵是来兑现某个功能而不能只感观念有存在，方向清泛结束落于此。不过为了补全观做展示题，看看拿经典自乘和两边力，个把十分钟后再谈起吧那时已不被变量框。}拾余